设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线．
(1)用t表示a，b，C；
(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1，3)上单调递减，求t的取值范围．
【正确答案】：(1)因为函数f(x)，g(x)的图像都过点(t，0)，所以f(t)=0， 即t3+at=0．因为t≠0，所以a=-t2．g(t)=0，即bt2+c=0，所以c=ab． 又因为f(x)，g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以f′(t)=g′(t)． 而f′(x)=3x2+a，g′(x)=2bx，所以3t2+a=2bt． 将a=-t2代入上式得b=t．因此c=ab=-t3．故a=-t2，b=t，c=-t3． (2)y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t)． 当Y′=(3x+t)(x-t)﹤0时，函数y=f(x)-g(x)单调递减． 由y′﹤0，若t﹥0，则-(t/3)﹤x﹤t；若t﹤0，则t﹤x﹤-(t/3)． 由题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1，3)上单调递减，则 (-1，3)⊂(-(t/3)，t)或(-1，3) ⊂ (t，-(t/3))．所以t≥3或-(t/3)≥3．即t≤-9或t≥3． 又当-9﹤t﹤3时，函数y=f(x)-g(x)在(-1，3)上单调递减． 所以t的取值范围为(-∞，-9]∪[3，+∞)．
