已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1=
(an+bn)/√an2+bn2,n∈N*,
(1)设bn+1=1+(bn/an),n∈N*，求证：数列{(bn/an2)是等差数列；
(2)设bn+1=√2•(bn/an),n∈N*，且{an)是等比数列，求a1，和b1的值．
【正确答案】：(1)因为bn+1=1+(bn/an) 所以an+1=(an+bn)/ √an2b2n=bn+1 /√1+(an+bn)2 所以bn+1+an+1 =√1+(an+bn)2． 所以(bn+1/an+1)2-(bn/an)2 =[√1+(bn/an)2]2- (bn/an)2=1(n∈N*). 所以数列{(bn/an)2}是以1为公差的等差数列． (2)因为an﹥0，bn﹥0，所以(an+bn) 2/2 ≤an2+bn2﹤(an+bn)2 所以1﹤an+1=(an+bn)/√an2+bn2≤√2 设等比数列{an}的公比为q，由an﹥0知q>0，下面用反证法证明q=1． 若q﹥1，则a1=a22√2，所以当n﹥logq(√2/a1)时， an+1=a1qn﹥√2，与(*)矛盾． 若0﹤q﹤1，则a1=a2/q﹥a2﹥1,所以当n﹥logq(1/a1时,an+1=a1qn﹤1,与(*)矛盾． 所以综上所述，q=1．所以an=a1(n∈N*)，所以1﹤a1≤√2． 又因为bn+1=√2•bn/an=√2/a1·bn(n∈N*)， 所以{bn}是公比是√2/a1的等比数列． 若a1≠√2，则√2/a1﹥1，于是b1﹤b2﹤b3． 又由an+1=(an+bn)/√an2+bn2 即a1=(a1+bn)/√a12+bn2,得 bn=(a1±a12√2-a12）所以b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1﹤b2﹤b3矛盾．所以a1=√2． 所以bn=(√2±(√2)2√2-(√2)2)/[(√2)2]-1=√2 所以a1=b2=√2.
