反常积分的敛散性判别

反常积分的敛散性判别是数学分析中的一个重要概念,主要涉及以下几种方法:

  1. 直接计算法
  • 如果能够直接计算出反常积分的具体数值,则积分收敛;否则发散。
  1. 比较判别法
  • 比较被积函数与已知敛散性的函数进行比较。

  • 如果对于充分大的$x$,有$0 \leq f(x) \leq g(x)$,且$\int_{a}^{+\infty} g(x) dx$收敛,则$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$也收敛。

  1. 比较判别法的极限形式
  • 当$f(x)$和$g(x)$在区间$[a, +\infty)$上非负可积,且当$x \rightarrow +\infty$时,$f(x)/g(x) \rightarrow L$,如果$L < 1$,则$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$收敛;如果$L > 1$,则发散。
  1. 极限审敛法
  • 利用极限来判断积分的敛散性,例如考察$\lim_{t \rightarrow +\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx$是否存在。
  1. Abel判别法和Dirichlet判别法
  • 当$f(x)$在区间$[a,b]$上可积,且序列${F_n(x)}$单调增加且有界,序列${f(x_n)}$趋于0,则$\int_{a}^{b} f(x) dx$收敛。

  • 当$f(x)$在区间$[a,b]$上可积,函数序列${f_n(x)}$单调递减趋于0,且$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$收敛,则$\int_{a}^{b} f(x) dx$收敛。

  1. Cauchy准则
  • 利用极限$\lim_{t \rightarrow +\infty} \int_{a}^{t+1} f(x) dx - \int_{a}^{t} f(x) dx$来判断积分的敛散性。
  1. 级数方法
  • 将积分转化为级数,利用级数的敛散性来判断积分的敛散性。
  1. 运算性质
  • 利用积分的运算性质,例如积分的乘积性质和积分的分部积分性质来判断敛散性。

以上方法中,比较判别法及其极限形式在考研数学中较为常用,需要熟记这些常见反常积分的敛散性。

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