反常积分的敛散性判别是数学分析中的一个重要概念,主要涉及以下几种方法:
- 直接计算法 :
- 如果能够直接计算出反常积分的具体数值,则积分收敛;否则发散。
- 比较判别法 :
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比较被积函数与已知敛散性的函数进行比较。
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如果对于充分大的$x$,有$0 \leq f(x) \leq g(x)$,且$\int_{a}^{+\infty} g(x) dx$收敛,则$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$也收敛。
- 比较判别法的极限形式 :
- 当$f(x)$和$g(x)$在区间$[a, +\infty)$上非负可积,且当$x \rightarrow +\infty$时,$f(x)/g(x) \rightarrow L$,如果$L < 1$,则$\int_{a}^{+\infty} f(x) dx$收敛;如果$L > 1$,则发散。
- 极限审敛法 :
- 利用极限来判断积分的敛散性,例如考察$\lim_{t \rightarrow +\infty} \int_{a}^{t} f(x) dx$是否存在。
- Abel判别法和Dirichlet判别法 :
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当$f(x)$在区间$[a,b]$上可积,且序列${F_n(x)}$单调增加且有界,序列${f(x_n)}$趋于0,则$\int_{a}^{b} f(x) dx$收敛。
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当$f(x)$在区间$[a,b]$上可积,函数序列${f_n(x)}$单调递减趋于0,且$\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)$收敛,则$\int_{a}^{b} f(x) dx$收敛。
- Cauchy准则 :
- 利用极限$\lim_{t \rightarrow +\infty} \int_{a}^{t+1} f(x) dx - \int_{a}^{t} f(x) dx$来判断积分的敛散性。
- 级数方法 :
- 将积分转化为级数,利用级数的敛散性来判断积分的敛散性。
- 运算性质 :
- 利用积分的运算性质,例如积分的乘积性质和积分的分部积分性质来判断敛散性。
以上方法中,比较判别法及其极限形式在考研数学中较为常用,需要熟记这些常见反常积分的敛散性。