在线性代数中，span(张成空间)指的是由一组向量通过线性组合构成的向量空间。具体来说，如果有一个向量集合 \( V = {v_1, v_2, ..., v_n} \)，其中每个 \( v_i \) 属于 \( n \) 维向量空间 \( \mathbb{R}^n \)，那么 \( V \) 的 \( span \) 记作 \( \text{span}(V) \)，它包含所有满足以下形式的向量：
[ \text{span}(V) = {a_1 \cdot v_1 + a_2 \cdot v_2 + ... + a_n \cdot v_n \mid a_1, a_2, ..., a_n \in \mathbb{R}} ]
这里， \( a_1, a_2, ..., a_n \) 是实数，表示向量 \( v_1, v_2, ..., v_n \) 的系数。
例子
假设 \( V = {(1,0), (0,1)} \)，这是二维实数空间 \( \mathbb{R}^2 \) 的标准基。那么 \( V \) 的 \( span \) 就是整个 \( \mathbb{R}^2 \) 空间，因为任何二维向量都可以表示为 \( a \cdot (1,0) + b \cdot (0,1) \) 的形式，其中 \( a, b \) 是实数。
重要定理
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基定理 ：每一个线性空间都有一个基，基是一组线性无关的向量，它们可以生成整个空间。
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矩阵列向量张成空间 ：如果 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的非零矩阵，那么 \( A \) 的列向量张成的空间就是 \( \text{span}(A的列向量) \)。
扩展资料
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解析几何 ：向量概念使得许多问题在解析几何中变得简洁和清晰。
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向量空间概念 ：与域相联系的向量空间概念，例如实系数多项式的集合构成向量空间。
总结
span 是线性代数中的一个核心概念，它描述了如何通过一组给定的向量生成整个向量空间。这个概念是理解线性代数许多其他概念的基础，如基、线性无关性、线性变换等。