x - \ln(1 + x) 等价于 \(\frac{1}{2}x^2\)。这个等价无穷小可以通过泰勒展开和对数函数的性质来证明。
以下是证明过程：
- 利用 \(\ln(1 + x)\) 的泰勒展开式：
\(\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + o(x^2)\)
其中，\(o(x^2)\) 表示高阶无穷小项。
- 将 \(\ln(1 + x)\) 的展开式代入 \(x - \ln(1 + x) \) 中：
\(x - \ln(1 + x) = x - \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + o(x^2) \right)\)
- 简化上述表达式：
\(x - \ln(1 + x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} - \cdots + o(x^2)\)
- 当 \(x \rightarrow 0\)，高阶无穷小项 \(o(x^2) \) 可以忽略不计，因此：
\(x - \ln(1 + x) \sim \frac{1}{2}x^2\)
所以，\(x - \ln(1 + x)\) 等价于 \(\frac{1}{2}x^2\)