常系数非齐次线性微分方程是一类重要的普通微分方程，其标准形式可以表示为：
[ a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = g(x) ]
其中：
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\( y(x) \) 是待求解的函数；
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\( y^{(k)}(x) \) 表示 \( y \) 关于 \( x \) 的第 \( k \) 阶导数；
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\( a_0, a_1, \ldots, a_n \) 是常数(即与 \( x \) 无关)，且 \( a_n \neq 0 \)；
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\( g(x) \) 是一个已知的函数，称为非齐次项。
特点：
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线性 ：方程的形式是线性的，即未知函数 \( y \) 及其导数的每一项都是一次的，没有二次或更高次的项。
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非齐次性 ：方程的右侧有一个非零的函数 \( g(x) \)，这使得方程是非齐次的。
求解方法：
常系数非齐次线性微分方程的求解通常包括以下步骤：
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求齐次方程的通解 ：首先求解对应的齐次方程 \( a_n y^{(n)}(x) + a_{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = 0 \) 的通解。
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求非齐次方程的一个特解 ：然后根据非齐次项 \( g(x) \) 的形式，求出一个特解 \( y^* \)。
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组合通解和特解 ：最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到原非齐次方程的通解。
特解的形式：
非齐次项 \( g(x) \) 的形式决定了特解 \( y^* \) 的形式。常见的非齐次项形式及其对应的特解形式如下：
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如果 \( g(x) = e^{\lambda x} \) 且 \( \lambda \) 不是特征方程的根，则特解形式为 \( y^* = Q(x) \)；
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如果 \( g(x) = e^{\lambda x} \) 且 \( \lambda \) 是特征方程的单根，则特解形式为 \( y^* = x^k Q(x) e^{\lambda x} \)，其中 \( k \) 是特征方程中 \( \lambda \) 的重数；
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如果 \( g(x) = e^{\lambda x} \) 且 \( \lambda \) 是特征方程的重根，则特解形式为 \( y^* = x^k (A_0 + A_1 x + \ldots + A_n x^n) e^{\lambda x} \)，其中 \( A_0, A_1, \ldots, A_n \) 是待定系数。
示例：
- 一阶非齐次线性微分方程 ：
[ y' + py = f(x) ]
其通解为：
[ y = e^{-px} \left( \int f(x) e^{px} , dx + c \right) ]
- 二阶常系数非齐次线性微分方程 ：
[ y'' + py' + qy = f(x) ]
其通解为：
[ y = e^{-px} \left( \int f(x) e^{px} , dx + c_1 \right) + y^* ]
其中 \( y^* \) 是根据 \( f(x) \) 的形式确定的特解。
总结：
常系数非齐次线性微分方程的求解需要先求齐次方程的通解，再根据非齐次项的形式求特解，最后将两者相加得到原方程的通解。求解过程中需要特别注意非齐次项的形式，以便选择合适的特解形式。