列主元高斯消去法(Column Pivoting Gaussian Elimination)是求解线性方程组的一种算法，它在标准高斯消去法的基础上增加了选择主元的步骤，以增强数值稳定性。下面是该算法的基本步骤：
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输入 ：线性方程组的系数矩阵 \( A \) 和常数向量 \( b \)。
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初始化 ：设置未知数个数 \( n \) 为矩阵 \( A \) 的列数。
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列主元选择 ：
- 对于每一列 \( i \)，从第 \( i \) 列到第 \( n \) 列，找到绝对值最大的元素所在行，并与第 \( i \) 行交换。
- 消元 ：
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对于每一行 \( i \)，从第 \( i+1 \) 行到第 \( n \) 行，计算乘数 \( m = A_{ij} / A_{ii} \)。
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对于每一行 \( i \)，从第 \( i \) 列到第 \( n \) 列，更新第 \( j \) 行的元素：
[ A_{ij} = A_{ij} - m \cdot A_{ii} ]
- 对于每一行 \( i \)，更新常数向量的元素：
[ b_j = b_j - m \cdot b_i ]
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上三角化 ：重复步骤 3 至步骤 4，直到矩阵 \( A \) 变为上三角矩阵。
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回代求解 ：
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从最后一行开始，依次求解每个未知数的值。
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对于第 \( i \) 个未知数，计算其解 \( x_i \)：
[ x_i = \frac{b_i - \sum_{k=i+1}^{n} A_{ik} \cdot x_k}{A_{ii}} ]
- 输出 ：解向量 \( x \)。
列主元高斯消去法的优点在于能够减小舍入误差，提高计算精度，特别是在处理大规模或存在对角线元素为零的矩阵时，这种方法尤其重要。