向量点乘和叉乘是向量运算中的两种基本形式，它们分别具有不同的几何意义和物理应用。
- 向量点乘(内积、数量积) ：
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定义 ：向量点乘也称为向量的内积或数量积，表示两个向量在同一方向上的投影长度的乘积。点乘的结果是一个标量。
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计算公式 ：对于两个三维向量 $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ 和 $\vec{b} = [b_1, b_2, b_3]$，它们的点乘为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3
$$
- 几何意义 ：点乘结果反映了两个向量的相似度，即它们在同一方向上的投影长度的乘积。点乘结果越大，两向量越相近。在物理学中，力与位移求功就涉及到向量点乘。
- 向量叉乘(外积、向量积) ：
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定义 ：向量叉乘也称为向量的外积或向量积，表示两个向量所构成的平行四边形的面积向量。叉乘的结果是一个新的向量，且垂直于原来的两个向量。
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计算公式 ：对于两个三维向量 $\vec{a} = [a_1, a_2, a_3]$ 和 $\vec{b} = [b_1, b_2, b_3]$，它们的叉乘为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
a_1 & a_2 & a_3 \
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
- 几何意义 ：叉乘结果是一个垂直于原来两个向量所在平面的新向量，其方向由右手法则确定。在物理学中，力与力臂求力矩就涉及到向量叉乘。
总结：
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向量点乘是一个标量，表示两个向量在同一方向上的投影长度的乘积，用于判断两个向量的相似度和计算一个向量在某个方向上的投影长度。
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向量叉乘是一个新向量，表示两个向量所构成的平行四边形的面积向量，垂直于原来的两个向量，用于判断平面的方向和计算力矩等。