特征值是线性代数中的一个重要概念，它们具有以下性质：
- 特征值定义 ：
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矩阵的特征值是特定的标量，它们可以使矩阵的所有元素变成零。
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特征值可以用来确定矩阵的形状和性质。
- 特征值定理 ：
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对于任意一个 \( m \times n \) 矩阵 \( A \)，都可以找到 \( m \) 个特征值。
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这 \( m \) 个特征值构成了该矩阵的特征值集。
- 特征向量 ：
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特征向量是一个与特征值相关的列向量。
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如果 \( \alpha \) 是矩阵 \( A \) 的特征向量，那么 \( A\alpha = \lambda \alpha \)，其中 \( \lambda \) 是对应的特征值。
- 特征值的性质 ：
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如果 \( \lambda \) 是矩阵 \( A \) 的特征值，那么 \( k\lambda \) 也是 \( A \) 的特征值，其中 \( k \) 是任意常数。
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一个特征向量只属于一个特征值。如果 \( \alpha \) 同时属于 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \)，则 \( \alpha = 0 \) 或 \( \lambda_1 = \lambda_2 \)。
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如果 \( \alpha_1 \) 和 \( \alpha_2 \) 是关于 \( \lambda \) 的特征向量，那么 \( k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 \) 也是关于 \( \lambda \) 的特征向量，其中 \( k_1 \) 和 \( k_2 \) 是任意常数。
- 矩阵的相似性和特征值 ：
- 如果矩阵 \( A \) 和 \( B \) 相似，即存在一个可逆矩阵 \( P \) 使得 \( P^{-1}AP = B \)，那么 \( A \) 和 \( B \) 有相同的特征值。
- 特征值与行列式和迹 ：
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\( n \) 阶方阵 \( A \) 的特征值之积等于矩阵 \( A \) 的行列式的值，即 \( \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = |A| \)。
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\( n \) 阶方阵 \( A \) 的特征值之和等于矩阵 \( A \) 的迹，即 \( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i = \text{tr}(A) \)，其中 \( \text{tr}(A) \) 是矩阵 \( A \) 的主对角线元素之和。
- 特征值与矩阵的稳定性 ：
- 特征值可以反映矩阵在某些操作下的行为，例如稳定性、是否保持不变、在空间中的放大或缩小程度等物理性质。
这些性质在矩阵分析和线性代数中有着广泛的应用，是理解矩阵结构和行为的关键。