极小多项式是线性代数中的一个重要概念，它是一个域上的代数元(例如矩阵)的最小首一多项式，满足多项式等于零(即多项式环中的除法余数为零)。极小多项式有以下几个关键性质：
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唯一性 ：极小多项式在多项式环中是唯一的，即不存在次数更低的多项式使得矩阵乘以该多项式等于零矩阵。
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次数 ：极小多项式的次数等于矩阵的几何重数，即矩阵对应特征值的线性无关特征向量的最大数量。
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与特征值的关系 ：如果矩阵的特征值为 \(c_1, c_2, \ldots, c_k\)，则极小多项式可以表示为 \((x - c_1)^{a_1}(x - c_2)^{a_2}\ldots(x - c_k)^{a_k}\)，其中 \(a_i\) 是特征值 \(c_i\) 的代数重数，且等于对应几何重数的最小整数 \(m\)，使得 \((cI - A)^m = 0\)，其中 \(I\) 是单位矩阵。
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Cayley-Hamilton 定理 ：根据Cayley-Hamilton 定理，矩阵的特征多项式也是矩阵的一个零化多项式，但极小多项式是次数最小的零化多项式。
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主理想 ：极小多项式生成的主理想包含了所有零化多项式，这些多项式都可以将矩阵映射到零矩阵。
极小多项式在矩阵分析和线性代数中扮演着重要角色，因为它与矩阵的特征值和特征向量紧密相关，并且在矩阵的相似变换、对角化以及矩阵的幂级数展开等方面都有应用。