设A和B是两个同阶矩阵，证明以下命题：
(1)设A和B是两个对称矩阵，则A和B之和与差必为对称矩阵．
(2)设A和B是两个反对称矩阵，则A和B之和与差必为反对称矩阵．
(3)设A和B是两个对称矩阵，则AB为对称矩阵当且仅当AB=BA．设A和B是两个对称矩阵，则AB为反对称矩阵当且仅当AB=-BA．
(4)设A和B是两个反对称矩阵，则AB为对称矩阵当且仅当AB=BA．设A和B是两个反对称矩阵，则AB为反对称矩阵当且仅当AB=-BA．
(5)对称矩阵A与反对称矩阵B之积为对称矩阵当且仅当AB=-BA．对称矩阵与反对称矩阵之积为反对称矩阵当且仅当AB=BA．
【正确答案】：(1)设AT=A，BT=B 则 (A+B)T=AT+BT=A+B (A-B)T=AT—BT=A-B 所以，A+B，A-B均为对称矩阵． (2)设AT=-A，BT=-B 则 (A+B)T=AT+BT=-A-B=-(A+B) (A-B)T=AT-BT=-A-(-B)=-(A-B) 所以，A+B，A-B均为反对称矩阵． (3)①若A、B是两个对称矩阵，则AT=A，BT=B ． ⇒因为，AB为对称矩阵 所以，(AB)T=AB 即 BTAT=AB 所以，BA=AB ⇐因为(AB)T=BTAT=BA 又 AB=BA 因为，(AB)T=AB 所以，AB为对称矩阵． ②⇒因为，AB为反对称矩阵 所以，(AB)T=-AB 所以，BTAT=-AB 所以，BA=-AB 即 AB=-BA ⇐(AB)T=BTAT=BA 又 AB=-BA 所以，(AB)T=-AB 从而AB为反对称矩阵． (4)若A，B是两个反对称矩阵，则AT=-A，BT=-B ①因为，AB是对称矩阵 所以，(AB)T=AB 又 (AB)T=BTAT=(-B)•(-A)=BA 所以，AB=BA ⇐因为(AB)T=BTAT=(-B)•(-A)=BA 又 AB=BA 所以，(AB)T=AB 从而AB为对称矩阵． ②⇒若AB为反对称矩阵，则 (AB)T=-AB 又 (AB)T=BTAT=(-B)(-A)=BA 所以，AB=-BA ⇐因为，(AB)T=BTAT=(-B)•(-A)=BA 又AB=-BA 所以，(AB)T=-AB 所以，AB为反对称矩阵． (5)①⇒因为，AB为对称矩阵 所以，(AB)T=AB 又 (AB)T=BTAT=(-B)A=-BA 所以，AB=-BA ⇐因为，(AB)T=BTAT=(-B)A=-BA 又 AB=BA 所以，(AB)T=AB 从而AB为对称矩阵． ②⇒因为，AB为反对称矩阵 所以，(AB)T=-AB 又 (AB)T=BTAT=(-B)A=-BA 所以，AB=BA ⇐因为，(AB)T=BTAT=(-B)A=-BA 又 AB=BA 所以，(AB)T=-AB 从而AB为反对称矩阵．
