用正交变换将二次型化为标准型并求出相应的正交矩阵
f(x1,x2,x3)
=x12+2x22-2x32+4x1x3
【正确答案】：解：二次型的矩阵为A= (1 0 2 0 2 0 2 0 -2) 特征多次式为|λI-A|= |λ-1 0 -2| |0 λ-2 0| |-2 0 λ+2| =(λ-2)2(λ+3) 特征值为λ1=λ2=2，λ3=-3 解线性方程组(2I-A)X=0求出属于λ1=λ2=2的两个线性无关特征向量a1= (0 1 0)， a= (2 0 1) (此题中a1,a2已为正交向量组，一般情况应将a1,a2正交化) 再解齐次线性方程组(-3I-A)X=0求出属于λ3=-3的特征向量a3= ( 1 0 -2) 则a1,a2,a3是正交向量组，单位化后得 β1=a1/||a1||= (0 1 0) β2=a2/||a2||=1/√5 (2 0 1), β3=a3/||a3||=1/√5 ( 1 0 -2) 令U=(β,β2,β3)= (0 2/√5 1/√5 1 0 0 0 1/√5 -2/√5), 则U为正交矩阵，经过正交变换 X=UY， 二次型化为标准型为 2y12+2y22-3y22
