证明n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P使
A=PT•P．
【正确答案】：证明：如果A正定，则A合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q使得QTAQ=I，所以 A=(QT)-1•Q-1=(Q-1)T•Q-1，令P=Q-1，则P可逆，并且 A=PT•P 反之，如果存在可逆矩阵P使A=pTp，由于齐次线性方程组AX=0仅有零解，所以对任意n阶非零向量X，PX≠0(零向量)， 即令Y= (y1 y2 • • • yn) =PX 则y1，y2，…，yn不全为0，所以 XTAX =XTPTPX=(PX)T•PX =y12+y22+•••+yn20， 即A正定．
