证明：如果A是正定实对称阵，那么A-1和A*(古曲伴随方
阵)也是正定实对称方阵。
【正确答案】：[证明] 证法1 ：因为(A-1)T=(AT)-1=A-1，所以A-1是 实对称阵．设λi为A的特征根(i=1，…，n)，则λi-1是A-1的 特征根．(因由Axi=λixi可得A-1xi=1/λixi) 所以 A正定⇔λi＞0⇔A-1正定． 证法2 因为A正定，所以对任x≠0，有xTAx)＞0，作可逆线 性代换x=A-1y，得 0＜xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)TAA-1 y=ytA-1y 所以A-1正定，(因为上式对任意y≠0成立) 又因为 A*=(detA)A-1⇒(A*)T=A* 故对任意x≠0，有 xTA*x=xT(detA)A-1x=(detA)xTA-1 x＞0 所以A*正定． 最后一个大于号是因为detA＞0(因为A正定)，及xTA-1x＞0对任x≠0成立(因A-1正定)．
