企源知识库

设矩阵A与B相似．证明：A^T～B^T．
【正确答案】：[证明] 由于A～B，故存在可逆矩阵P，使得 P^-1AP=B⇒(P^-1AP)^T=B^T， 即 P^TA^T(P^-1)^T=B^T， 亦即 P^TA^T(P^T)^-1=B^T (*) 由于P可逆，所以P^T可逆，(P^T)^-1也可逆，记Q=(P^T)^-1，由式*得知存在可逆阵Q，使 Q^-1A^TQ=B^T， 即 A^T～B^T．