求下列幂级数的收敛域：
(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…；
(2)1-x+x2/22+…+(-1)nxn/n2+…；
(3)∑n=0∞[n!/(2n+1)]xn
(4)∑n=1∞[2n/(2n+1)]xn
(5)∑n=1∞[(2n-1)/2n]x2n
(6)∑n=1∞(-1)n[x2n+1/(2n+1)]；
(7)∑n=1∞(x-3)n/n2；
(8)∑n=1∞n(3x-5)n．
【正确答案】：(1)∵limn→∞(n+1)/n=1,∴收敛域为(-1，1) (2)∵limn→∞[1/(n+1)n]/1/n2=1 当x=-1时，∑n=1∞(-1)n(xn/n2)=1+1+(-1)2/22 +…+(-1)n+1/n2收敛 当x=1时，∑n=1∞(-1)n(xn/n2)=1-1+12/22 +…+(-1)n1/n2收敛 ∴收敛域为[-1，1]． (3)∵limn→∞(n+1)!/(2n+3)•[(2n+1)/n!]=limn→∞(n+1)/(2n+3)•(2n+1)=∞ ∴该幂级数收敛半径为R=0，即只在x=0收敛 (4)∵limn→∞2n+1/(2n+3)•[(2n+1)/nn]= limn→∞2/(2n+3)•(2n+1)=2 ∴收敛区间为(-(1/2)，1/2) 当x=-(1/2)时，∑n=1∞2n/(2n+1)[-(1/2)]n= ∑n=1∞(-1)n2n/(2n+1)•(1/2)n =∑n=1∞(-1)n1/(2n+1)收敛 当x=1/2时，∑n=1∞2n/(2n+1)•(1/2)n= ∑n=1∞1/(2n+1)发散 ∴该幂级数的收敛区间为[-1/2，1/2) (5)∵limn→∞(2n+1)/2n+1[2n/(2n-1)]=1/2 ∴收敛区间为(-√2，√2) 当x=±√2时，∑n=1∞[(2n-1)/2n]x2n= ∑n=1∞(2n-1)发散 ∴该幂级数的收敛区间为(-√2，√2) (6)∵limn→∞1/(2n+3)•(2n+1)=1 ∴收敛区间为(-1，1) 当x=1时，∑n=1∞n1/(2n+1)收敛 当x=-1时，∑n=1∞n+11/(2n+1)收敛 ∴该幂级数收敛区间为[-1，1] (7)∵limn→∞n2/(n+1)2=1 ∴收敛区间为(2，4) 当x=4时，∑n=1∞1/n2=收敛 当x=2时，∑n=1∞(-1)/n2收敛 ∴收敛区间为[2,4] (8)limn→∞(n+1)/n=1 ∴收敛区间为(4/3，2) 当x=4/3时，∑n=1∞n(-1)n发散 当x=2时，∑n=1∞n发散 ∴收敛区间为(4/3，2)
