将下列函数展开成x的幂级数
(1)f(x)=x2ex
(2)f(x)=sin2x
(3)f(x)=x/(1+x-2x2)
(4)f(x)=(ex+e-x)/2
【正确答案】：(1)因为ex=∑n=0∞xn/n! (-∞﹤x﹤+∞)， 所以f(x)=x2ex=∑n=0∞xn+2/n! (-∞﹤x﹤+∞)； (2)sin2x=1/2-(1/2)cos2x，又cosx=1-(1/2!)x2+(1/4!)x4-(1/6!)x6+…(-∞﹤x<+∞)， 故cos2x=1-(1/2!)(2x)2+(1/4!)(2x)4-(1/6!)(2x)6+…， 所以sin2x=1/2-1/2[1-(1/2!)(2x)2+1/4!(2x)4-1/6!(2x)6+…] =(2/2!)x2-(23/4!)x4+(25/6!)x6-… =∑n=1∞(-1)n-1[22n-1/(2n)!]x2n (-∞﹤x﹤+∞)； (3)f(x)=x(1+x-2x2)=x/[(1-x)(1+2x)]=1/3[1/(1-x)-1/(1+2x)] 因为1/(1-x)=∑n=0∞xn(-1﹤x﹤1)， 1/(1+2x)=∑n=0∞(-1)n•(2x)n =∑n=0∞(-1)n•2n•xn [-(1/2)﹤x﹤1/2]， 所以f(x)=1/3[∑n=0∞xn-∑n=0∞(-1)n•2n •xn] =1/3∑n=0∞[1-(-1)n2n]xn[-(1/2)﹤x﹤1/2]． (4)ex=∑n=0∞xn/n!(-∞﹤x﹤∞) e-x=∑n=0∞(-x)n/n!=∑n=0∞(-1)n• (xn/n!) (-∞﹤x﹤+∞) 所以(ex+e-x)/2=1/2[∑n=0∞xn/n!+ ∑n=0∞(-1)n-(xn/n!)] =1/2∑n=0∞[1+(-1)n](xn/n!) =∑n=0∞[x2n/(2n)!] (-∞﹤x﹤-∞)
