求下列幂级数的收敛半径和收敛区间
(1)∑n=1∞lnn/n•xn
(2)∑n=1∞[(2n)!/(n!)2](x+1)2n
【正确答案】：(1)根据洛必达法则，有极限 limx→+∞ln(x+1)/lnx=limx→+∞1/(x+1)/(1/x)=1． 因此limx→∞=ln(n+1)/(n+1)/(lnn/n)= limn→∞n/(n+1)•[ln(n+1)/lnn]=1 因此∑n=1∞(lnn/n)xn的收敛半径为R=1，所以收敛区间为(-1，1)• (2)由于limn→∞∣{(2n+2)!/[(n+1)!]2}(x+1)2n+2/{[(2n)!/(n!)2](x+1)2n}∣=limn→∞=[(2n+1)(2n+2)/(n+1)2](x+1)2 =4(x+1)2,因此当4(x+1)2﹤1时级数收敛而4(x+1)2﹥1时级数发散， 所以收敛半径R=1/2，收敛区间为-(1/2)﹤x+1﹤1/2，即[-(3/2,-(1/2)]
