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求下列微分方程的通解．
(1)xydx+√1-x²dy=0；
(2)y′=(sin(lnx)+cos(lnx)+2)y；
(3)xy′=√x²-y²+y；
(4)(dy/dx)cos²x+y=tanx；
(5)(x²+1)y′+2xy=4x²；
(6)(x²+1)y′′=2xy′；
(7)2yy′′=(y′)²+1；
(8)y′′+4y′+3y=x-2．
【正确答案】：(1)原方程分离变量得 dy/y=-(x/√1-x²)dx 两边积分得 lny=√1-x²+lnC y=Ce^√1-x2 即为所求的通解． (2)原方程分离变量得 dy/y=(sinlnx+coslnx+2)dx 两边积分得 ∫dy/y=∫(sin(lnx)+cos(lnx)+2)dx ① 由于 ∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-∫xcos(lnx)•(1/x)dx =xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx 故①式积分得lny=xsin(lnx)+2x+C 故所求通解为 y=Ce^xsin(lnx)+2x (3)原方程可化为 dy/dx=√1-(y/x)²+y/x 令u=y/x，则y=ux， dy/dx=u+x(du/dx) 代入上式得 u+x(du/dx)=(√1-u²)+u 分离变量积分得 ∫(1/√1-u²)du=∫(1/x)dx arcsinu=lnx+C 把u=y/x代入得原方程的通解为 arcsin(y/x)=lnx+C (4)这是一个线性非齐次方程，化为标准形式为 dy/dx+sec^xxy=sec²xtanx 先求对应的齐次线性方程的通解． dy/dx+sec²xy=0 分离变量得 (1/y)dy=-sec²xdx 两边积分得 lny=-tanx+lnC 即得通解为 y=Ce^-tanx 把常数C换成未知函数C(x)，则y=C(x)e^-tanx dy/dx=e^-tanx[dC(x)/dx]-C(x)e^-tanxsec²x 代入原方程得 dC(x)/dx=e^tanxsec²xtanx 两边积分得 C(x)=∫e^tanxtanxsec²xdx =∫e^tanxtanxdtanx =e^tanx(tanx-1)+C 故原方程的通解为 y=[e^tanx(tanx-1)+C]e^-tanx =Ce^-tanx+tanx-1 (5)原方程可化为 y′+[2x/(x²+1)]y=4x²/(x²+1) 则所求通解为 y=e^{-∫[2x/(x2+1)]dx}(∫4x²/(x¹+1)e^{∫[2x/(x2+1)]dx}dx+C) =e^-ln(x2+1)(∫4x²/(x+1)e^ln(x2+1)dx+c) =1/(x²+1)(∫4x²dx+C) =1/(x²+1)(4/3x³+C) (6)这是y′′=f(x，y′)型方程，设y′=p(x)，则 y′′=p′(x)=dp/dx 代入原方程得 (x²+1)dp/dx=2xp 分离变量积分得 ∫dp/p=∫2x/(x²+1)dx， lnp=ln(x²+1)+lnC₁ p=C₁(x²+1) 把y′=P代入得 y′=C₁(x²+1) 两边积分，即得原方程的通解为 y=(1/3x³+x)C_x+C₂ (7)设y′=p(y)，则 y′′=dp/dy(dy/dx)=p(dp/dy) 代入原方程得 2yp(dp/dy)=p²+1 分离变量积分得 ∫[2p/(p²+1)]dp=∫(1/y)dy ln(p²+1)=lny+lnC₁ p²+1=C₁y 把p=dy/dx代入得 (dy/dx)²+1=C₁y 分离变量得 dy/±√C₁y-1=dx 两边积分得 ∫(1/±√C₁y-1)dy=dx ±2/C₁√C₁y-1=x+C₂ 故原方程的通解为 y=C₁/4(x+C₂)1/C₁ (8)这是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程为 y′′+4y′+3y=0 其特征方程为 λ²+4λ+3=0 其解为 λ₁=-1，λ₂=-3 故齐次方程通解为 y=C₁e^-3x+C₂e^-x原方程的非齐次项f(x)=x-2属于e^λxPm(x)型(λ=00，m=1)，其中λ=0不是特征方程的根，故可设特解为 y*=αx+b 则 y*′=α，y*′′=0 代入原方程得4α+3(αx+b)=x-2 解得 α=1/3，b=-(10/9) 于是原方程的通解为 y=C₁e^-3x+C₂e^-x+(1/3)x-10/9