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设集合R是A上的二元关系,证明:
(1)若R是A上拟序关系,则r(R)=R U IA是偏序关系。
(2)若R是偏序关系,则R- IA是拟序关系。
【正确答案】：证明:(1)R是拟序关系,即R是反自反及传递的。
I_A是自反的,故RUI_A是自反的;
∀ ∈r(R),若x≠y,则 ∈R(I_A中只含有形如 的二元组);
若 ∈R,则由R的传递性可知, ∈R,这与R的反自反性相矛盾,故 ∈R;
若x=y,则 ∈I_A;
由此可知,若 ∈r(R),则必有x=y,即r(R)是反对称的;
∀ ∈r(R)及 ∈r(R),分以下四种情况讨论:
①若x≠y且y≠z,则 ∈R且 ∈R,由R的传递性知, ∈R;
②若x=y且y≠z,则 = ∈I_A且 ∈R, = ∈r(R);
③若x≠y且y=z,则 ∈R且 =y,y> ∈I_A, = ∈r(R);
④若x=y且y=z,则 ∈I_A且 I_A, = er(R);
综上, ∈r(R),即r(R)是传递的;故r(R)是偏序关系。
(2)R是偏序关系,故R是自反的、反对称的及传递的。设U=R-I_A。
显然,对∀x, ∉U,U是反自反的;
∀ ∈U及 ∈U,必有 ∈R及 ∈R,因为R是传递的,故 ∈R;
若x=z,表明 ∈R且 ∈R,与R是反对称的相矛盾,故必有x≠z,即 ∈U,
故U是传递的。由定义可知,U是拟序关系。