使用将公式化为范式的方法证明下列各等价式。
(1)(A→B)⋀(A→C)⟺ (A→(B⋀C));
(2)(A→B)→(A⋀B)⟺ (AⅤB)⋀(B→A);
(3)PⅤ(P→(PⅤQ))⟺ PⅤ-QⅤ(P⋀Q)。
【正确答案】：(1)(A→B)⋀(A→C)⟺ (A→(B⋀C))
证明:将左右两边的公式分别变换为等价的合取范式。
左=(A→B)⋀(A→C)⟺ (¬AⅤB)⋀(¬AⅤC)
右=(A→(B⋀C)⟺ (¬AⅤ(B⋀C))
⟺ (¬AⅤB)⋀(¬AⅤC)=左
故(A→B)⋀(A→C)⟺ (A→(B⋀C))。证毕
(2)(A→B)→(A⋀B)⟺ (AⅤB)⋀(B→A)
证明:将左右两边的公式分别变换为等价的析取范式。
左=(A→B)→(A⋀B)⟺ ¬(¬AⅤB)Ⅴ(A⋀B)
⟺ (A⋀¬B)Ⅴ(A⋀B)
⟺ (A⋀B)Ⅴ(A⋀¬B)
右=(AⅤB)⋀(¬BⅤA)
⟺ AⅤ(BⅤ¬B)
⟺ A
⟺ A⋀(BⅤ¬B)
⟺ (A⋀B)Ⅴ(A⋀¬B)=左
故(A→B)→(A⋀B)一(AⅤB)⋀(B→A)。证毕
(3)PⅤ(P→(pⅤQ))⟺ ¬pⅤ(¬QⅤ(P⋀Q)
证明:将左右两边的公式分别变换为等价的合取范式。
左=PⅤ(P→(PⅤQ))⟺ PⅤ(¬PⅤ(PⅤQ))
⟺ PⅤ¬PⅤPⅤQ
⟺ T
右=¬PⅤ¬QⅤ(P⋀Q)
⟺ ¬(P⋀Q)Ⅴ(P⋀Q)
⟺ T
故PⅤ(P→(PⅤQ))⟺ PⅤ¬QⅤ(P⋀Q)。证毕
