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设α₁，α₂，···，α_t，为齐次线性方程组Αx=0的一个基础解系，向量β不是Αx=0的解，证明：向量组β，β+α₁，β+α₂···，β+α_t线性无关.
【正确答案】：

证明 设kβ+k₁（β+α₁）+k₂（β+α₂）+···+k_t（β+α_t）=0，则（k+k₁+k₂+···+k_t）β+k₁α₁+k₂α₂+···+k_tα_t=0.
若k+k₁+k₂+···+k_t≠0，则

而α₁，α₂···，α_t为Αx=0的一个基础解系，已知β不是Αx=0的解向量.
所以 k+k₁···+k_t=0，
从而 k₁α₁+k₂α₂+···+k_t，α_t=0.
又α₁，α₂···，α_t线性无关，所以k₁=···=k_t=0.
于是k=0，即有k=k₁=k₂=···k_t=0，所以β，β+α₁，β+α₂，···，β+α_t线性无关.