抛物线具有以下性质：
- 对称性 ：
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抛物线是轴对称图形，其对称轴垂直于抛物线的开口方向，并且通过抛物线的顶点。
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抛物线关于其对称轴对称，即如果点 (x, y) 在抛物线上，则其关于对称轴的对称点 (x', y') 也在抛物线上。
- 焦点和准线 ：
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抛物线有一个焦点 F 和一条准线 l，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
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焦点 F 的坐标为 (-b/2a, c - b²/4a)，准线的方程为 y = -p(对于开口向上的抛物线 y² = 2px)或 y = p(对于开口向下的抛物线 y² = -2px)。
- 顶点和焦距 ：
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抛物线的顶点是其对称轴与抛物线的交点，顶点坐标为 (0, 0) 或 (h, k)，取决于抛物线的方程形式。
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焦距是顶点到焦点的距离，对于标准方程 y² = 2px，焦距为 p。
- 开口方向 ：
- 抛物线的开口方向由二次项系数 a 决定，当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 切线性质 ：
- 抛物线在焦点处的切线平行于准线。
- 几何相似性 ：
- 所有抛物线都是几何相似的，这意味着它们可以通过重新定位和缩放适应彼此。
- 对称轴方程 ：
- 对称轴的方程为 x = -b/2a(对于开口向右的抛物线 y² = 2px)。
- 准线方程 ：
- 准线的方程为 y = -p(对于开口向上的抛物线 y² = 2px)或 y = p(对于开口向下的抛物线 y² = -2px)。
- 焦点弦 ：
- 抛物线的焦点弦是连接抛物线上两点的线段，这两点到焦点的距离相等。焦点弦的长度可以通过公式 |AB| = x1 + x2 + p 计算，当 x1 = x2 时，通径最短为 2p。
这些性质使得抛物线在数学、物理和工程领域具有广泛的应用，例如在光学、声学、力学和建筑设计中。