已知二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
f(x，y)=
{Cxy，0≤x≤1，0≤y≤1；
{0，其他
求：(1)常数C；
(2)(X，Y)的联合分布函数；
(3)P(X＜Y)．
【正确答案】：(1)由(X，Y)的联合概率密度的性质，有 ∫+∞-∞∫+∞-∞f(x，y)dxdy=C∫10∫10xydxdy=C/4=1， 所以C=4． (2)当x＜0或Y＜0时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=0； 当0≤x＜1，0≤Y＜1时， F(x，y)=∫x-∞∫y-∞f(u，υ)dudυ=4∫x0udu∫y0υdυ =x2y2； 当0≤x＜1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫x0udu∫y0υdυ=x2； 当x≥1，0≤y＜1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫10udu∫y0υdυ=y2； 当x≥1，y≥1时， F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)=4∫10udu∫y0υdυ=1； 所以(X，Y)的分布函数 F(x，y)= {0， x＜0或y＜0； {x2y2，0≤x＜1，0≤y＜1； {x2，0≤x＜1，Y≥1； {Y2，x≥1，0≤y＜1； {1， x≥1，Y≥1． (3)P(X＜Y)=∫∫x＜yf(x，y)dxdy=∫∫0≤x＜y＜1 =4∫10ydy∫y0xdx=1/2
