设X-N(μ,σ2)，Y～N(μ，σ2)，且设X，Y相互独立，试求Z1=aX+βY，Z2=aX-βY的相关系数(其中a，β是不为零的常数)．
【正确答案】：因E(X)=E(Y)=μ，D(X)=D(Y)=σ2，且X，Y相互独立，所以 E(Z1)=E(aX+βY)=(a+β)μ，E(Z2)=E(aX-βY)=(a-β)μ E(Z1Z2)=E(a2X2-β2Y2)= a2+E(X2)-β2(Y2)=(a2-β2)(μ2+σ2)， E(Z1)=D(aX+βY)=a2D(X)+β2D(Y) =(a2+β2)σ2, E(Z2)=D(aX-βY)=a2D(X)+β2D(Y) =(a2+β2)σ2,因此 Cov(Z1Z2)=E(Z1Z2)-E(Z1)E(Z2) =(a2+β2)σ2, ρZ1Z2= Cov(Z1Z2/[√D(Z1)√D(Z2)] =(a2-β2)σ2/(a2+β2)σ2 =(a2-β2)/(a2+β2)
