函数z=exy在点(1,1)处的全微分dz=
A、dx+dy
B、dx-dy
C、e(dx+dy)
D、e(dx-dy)
【正确答案】：C
【名师解析】:函数 \( z = e^{xy} \) 在点 \( (1,1) \) 处的全微分 \( dz \) 可以通过函数的偏导数来计算。首先，我们需要计算 \( z \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
对于 \( x \) 的偏导数，我们固定 \( y \) 并求导：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot y \]
对于 \( y \) 的偏导数，我们固定 \( x \) 并求导：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} \cdot x \]
在点 \( (1,1) \) 处，这两个偏导数的值都是 \( e \)。因此，全微分 \( dz \) 可以表示为：
\[ dz = \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right) dx + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right) dy \]
\[ dz = e \cdot dx + e \cdot dy \]
\[ dz = e(dx + dy) \]
这与选项 C 相符，因此正确答案是 C。
