设A=
(52
-12-5)，
计算An
【正确答案】：A的特征多项式为 |λE-A|= |λ-5 -2 | |12 λ+5| =λ2-1=(λ+1)(λ-1)， 得A的特征多项式λ1=1，λ2=-1． 对于特征值λ1=1，解齐次线性方程组(E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 E-A= (-4 -2 12 6) → (12 1 0 0) → (1 1/2 0 0) 方程组的基础解系为α1= (1 -2)， 所以A的属于特征值λ1=1的一个特征向量为α1． 对于特征值λ2=-1，解齐次线性方程组(-E-A)x=0，对系数矩阵作初等行变换 -E-A= (-6 -2 12 4) → (3 1 0 0) → (1 1/3 0 0) 方程组的基础解系为α2= (1 -3)， 所以A的属于特征值λ2=-1的一个特征向量为α2． 令P= (1 1 -2 -3)， 则P-1AP= (1 -1)， 即A=P (1 -1)P-1， 从而 An=P[(1 -1)P-1]n=P(1 -1)nP-1 =(1 1 -2 -3) (1 (-1)n) (3 1 -2 -1) = {3+2(-1)n+1 1+(-1)n+1 {-6+6(-1)n -2+3(-1)n
