计算下列函数的极值：
(1)y=2x3-6x2-18x+3．
(2)y=lnx/x；
(3)y=x/(1+x2)；
(4)y=x2e-x；
(5)y=2ex+e-x．
【正确答案】：(1)y′=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1) 令y′=0得驻点x1=-1，x2=3 又y′′=12x-12，从而y′(-1)=-24＜0，y′′(3)=24＞0 故函数在x=-1处取得极大值，极大值为y(-1)=13 在x=3处取得极小值，极小值为y(3)=-51 (2)y=lnx/x在其定义域(0，+∞)内二阶可导，并且 y′=(1-lnx)/x2 令y′(x)=0得驻点x=e 又y′′=[-x-(1-lnx)•2x]/x4=(-3+2lnx)/x3 从而y′′(e)=-(1/e3)＜0 因此函数在x=e处取得极大值 极大值为(e)=lne/e=1/e (3)y=x/(1+x2)在其定义域(-∞，+∞)内二阶可导，并且 y′(x)=(1-x2)/(1+x2)2 令y′(x)=0．得驻点x1=-1，x2=1 又y′′(x)=(2x3-6x)/(1+x2)4 从而y′′(-1)=1/4＞0，y′′(1)=-(1/4)＜0 因此函数在x=-1处取得极小值，极小值为y(-1)=-(1 在x=1处取得极大值，极大值为y(1)=1/5． (4)y=x2e-x在其定义域(-∞，+∞)内二阶可导，并且 y′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2) 令y′=0得驻点x1=0，x2=2 又y′′=-e-x(2x-x2)+e-x(2-2x)=e-x(x2-4x+2) 从而y′′(0)=2＞0，y′′(2)=-2/e2＜0 因此函数在x=0处取得极小值，极小值为y(0)=0 在x=2处取得极大值，极大值为y(2)=4/e2 (5)y=2ex+e-x在其定义域(-∞，+∞)内二阶可导，并且 y′=2ex-e-x 令y′(x)=0得驻点x=-(1/2)ln2 又y′′(x)=2ex+e-x，从而 y′′(-(1/2)ln2)=2√2＞0 因此函数在x=-(1/2)ln2处取得极小值，极小值为 y(-(1/2)n2)=2√2．
