设函数f(x)=xe1/x+1，求函数的单调区间、凹凸区间、极值和拐点并求出其渐近线．
【正确答案】：f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， f′(x)=e1/x-e1/x/x=e1/x•[(x-1)/x] f′′(x)=e1/x•[-(1/x2)]-(1/x2)•e1/x-1/x．e1/x[-(1/x2)]=e1/x/x3． 令f′(x)=0得x=1，定义域内既无f′′(x)=0的点也无 f′′(x)不存在的点，列表讨论 (-∞，0) (0，1) 1 (1，+∞) f′ + - 0 + f′′ - + + f ↗∩ ↘∪ ↗∪ (-∞，0)和(1，+∞)为单调增区间，(0，1)为单调减区间；(-∞，0)为凸区间，(0，+∞)为凹区间：f(1)=e+1为 极小值；无拐点． limx→∞+f(x)与limx→∞+f(x)均为无旁大，所以无水平渐近线． limx→0+f(x)=limx→0+[e1/x/(1/x)+1]=limx→0+(e1/x)′/(1/x)′+1=limx→0+e1/x•[-(1/x2)]/-(1/x2)+1=+∞， 所以x=0为铅直渐近线．
