设函数f(x)可导且满足∫0x[2f(t)-1]dt=f(x)-1,求f(x)
设函数f(x)可导且满足∫0x[2f(t)-1]dt=f(x)-1,求f(x)
【正确答案】:(∫0x[2f(t)-1]dt)′xx=(f(x)-1)′x, 2f(x)-1=f′(x), 因此f(x)是微分方程y′-2y=-1的解. 又x=0时上∫00[2f(x)-1]dt=0,故f(0)=1,即y=f(x)是满足初始条件y(0)=1的特解. y=e∫2dx[∫(-1)•e-∫2dx•dx+C] =e2x•[-∫e-2xd+C] =e2x•[(1/2)e-2x+C]=1/2+Ce2x 以x=0,y=l时代入得C=1,所以所求为 f(x)=1/2(1+e2x).
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