随机变量(ε，η)在矩形区域D={(x，y)：α＜x＜b，c＜y＜d}内服从均匀分布，求：(1)联合密度函数P(x，y)；(2)边际密度函数Pε(x)，Pη(y)；(3)ε与η是否相互独立?
【正确答案】：设P(x，y)= {A，α＜x＜b；c＜y＜d， {0，其他 (1)∫+∞-∞∫+∞-∞P(x，y)=1 ∫bαdx∫dcAdy=1 ∫bαA(d-c)dx=1 A(d-c)(b-α)=1 A=1/(d-c)(b-α)，即 P(x，y)= {1/(d-c)(b-α)，α＜x＜b；c＜y＜d， {0，其他 P(x，y)= {1/(d-c)(b-α)，α＜x＜b；c＜y＜d {0， 其他． (2)Pε(x)=∫+∞-∞ P(x，y)dy=∫dc[1/(d-c)(b-α)]dy =[(d-c)/(d-c)(b-α)]=1/(b-α) 即Pε(x)= {1/(b-α)，α＜x＜b {0， 其他． Pη(y)=∫+∞-∞P(x,y)dx=∫bα[1/(d-c)(b-α)]dx =[1/(d-c)(b-α)](b-α)=1/(d-c) 即Pη(y)= {1/(d-c)，c＜y＜d， {0， 其他． (3)Pε(x)Pη(y)=[1/(b-α)][1/(d-c)]=[1/(b-α)(d-c)]P(x，y) P(x，y)=Pε(x)Pη(y)在全平面成立． 则ε与η相互独立．
