利用某种仪器测量圆形零件直径为真值μ时，所发生的随机误差的分布在独立试验过程中不变，设X1，X2，…，Xn…是各次测量的结果．那么能否取(1/n)∑nk=(Xk-μ)2作为仪器误差的方差σ2的近似值?(设该仪器无系统偏差)
【正确答案】：若对任何ε＞0，有 limn→∞P(|1/n∑nk=1(xk-μ)2-σ2|＜ε)=1 则当n充分大时，有σ≈1/n∑nk=1(Xk-μ)2． 下面讨论上式是否成立． 由题设知，X1，X2，…，Xn…独立同分布，即有 E(X1)=E(X2)=…=E(Xn)=… D(X1)=D(X2)=…=D(Xn)=… 于是，仪器的误差的期望与方差为： E(Xk-μ)=E(Xk)-μ； D(Xk-μ)=D(Xk) (k=1，2…)． 再引入新随机变量 Yk=(Xk-μ)2 (k=1，2…)． 显然Y1，Y2…，Yn，…也是独立同分布的，于是 E(Yk)=E(Xk-μ)2=E(X2k-2Xkμ+μ2) =E(X2k)-2μE(Xk)+μ2 =D(Xk)+(E(Xk))2-2μE(Xk)+μ2 =D(Xk)+[e(Xk)-μ]2． 由于仪器无系统偏差，故 E(Xk-μ)=0，即E(Xk)=μ； E(Yk)=D(Xk)=D(Xk-μ)=σ2， (k=1，2…) 由独立同分布序列的切比雪夫大数定律知，对任意ε>0，有 limn→∞P(|1/n∑nk=1YK-E(Yk)|＜ε)=1• 即limn→∞P(|1/n∑nk=1(Xk-μ)2-σ2|<ε)=1• 可见当n充分大时，1/n∑nk=1(Xk-μ)2可作为σ2的近似值•
