设X服从标准正态分布N(0，1)，求：
(1)Y=eX的概率密度；
(2)Y=2X2+l的概率密度；
(3)Y=|X|的概率密度．
【正确答案】：由于X～N(0，1)，则X的概率密度 fX(x)=(1/√2π)e-(x2/2)，-∞＜x＜+∞ (1)由函数y=ex(单增函数)解得x=lny，则x'=1/y• 当y＜0时，FY(y)=P(Y≤y)=P(eX≤Y)=0,fY(y)=0； 当y＞0时，FY(y)=(1/√π)e-(lny)2/2•1/y• 所以，随机变量Y=eX的概率密度． fY(y)= {(1/√2π)e-(lny)2/2•1/y，y＞0； {0 y≤0． (2)当Y＜1时，FY(Y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤y)=0， fY(y)=0； 当Y＞1时， FY(y)=P(Y≤y)=P(2X2+1≤Y) =P(-√(y-1)/2≤X≤√(y-1)/2) =∫√(y-1)/2-√(y-1)/2． 由于fY(y)=F'Y(y)，根据积分上限函数导数性质，有 fY(y)=2•(1/2π)e-[(y-1)/4]•1/2•[(y-1)/2]1/2•1/2 =(1/√2π(y-1))-e-(y-1)/4 所以，随机变量Y=2X2+1的概率密度 fY(y)= {1/1/√2π(y-1))-e-(y-1)/4， y≤1； {0，y≤1. (3)当y＜0时，FY(y)=P(Y≤y)=P(|X|≤Y)=0，fY(y)=0； 当y≥0时， FY(y)=P(Y≤Y)=P(|X|≤Y)=P(-y≤X≤y) =∫y-y(1/√2π)e-(x2/2)dx=2∫y0(1/√2π)e-(x2/2)dx 由于fY(y)=F'Y(y)，根据积分上限函数导数的性质，有 fY(y)=2•(1/√2π)e-(y2/2) 所以，随机变量Y=|X|的概率密度 fY(y)= {(√2/π)e-(y2/2)，y≥0； {0，y＜0
