已知随机向量(X，Y)服从二维正态分布，E(X)=E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，Cov(X，Y)=12，求(X，Y)的概率密度．
【正确答案】：由于(X，Y)服从二维正态分布，则(X，Y)的概率密度． f(x，y)=(1/2πσ1σ2√1-ρ2)exp{-[1/2(1-ρ2)]•{[(x-μ2)/σ12] 2ρ[(x-μ1)(y-μ2)/σ1σ2]+(y-μ2)/σ21]}． 关于X、Y的边缘概率密度分别为： fX(x)=(1/√2πσ)e-[(x-μ1)2/2σ12， fY(y)=(1/√2πσ)e-[(y-μ2)2/2σ22， 由服从正态分布的随机变量的期望、方差的值可得： μ1=E(x)=0，σ21=D(X)=1 6； μ2=E(Y)=0，σ22=D(Y)=25． 又Cov(X，Y)=pσ1σ2=20ρ=12． 所以有ρ=0．6． 从而二维随机变量(X，Y)的概率密度 f(x,y)=(1/2π•20•√1-0.62)exp{-[1/2(1-0.6)][x2/16-2×0.6 (xy/20)+y2/25} =(1/32π)exp[-(25/32)(x2/16—(3/50)xy+y2/25)]， 即(X，Y)～N(0，0，42，52，0．6)．
