确定下列曲线的凹凸区间，并求拐点：
(1)y2=x-x3；
(2)y=x+1/x；
(3)y=xe-x；
(4)y=x-ln(1+x)．
【正确答案】：(1)y=x2-y3的定义域为(-∞，+∞)且 y'=2x-3x2，y''=2-6x． 令y''=0得x=1/3．当x＜1/3时，y''＞0；当x＞1/3时，y''＜0，故y=x2-x3的凹区间是(-∞，1/3)，凸区间是(1/3，+∞)，拐点为(1/3，2/27)． (2)y=x+1/x的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且 y=1-1/x2，y''=2/x3。 当x＜0时，y''＜0；当x＞0时，y''＞0，故y=x+1/x的凹区间为(0，+∞)，凸区间为 (-∞，0)，没有拐点． (3)y=xe-x的定义域为(-∞，+∞)，且 y'=e-x-xe-x，y''=-2e-x+xe-x， 令y''=0得x=2。 当x＞2时，y''＞0；当x＜2时，y''＜0，故y=xe-x的凹区间为(2，+∞)，凸区间为(-∞，2)，拐点为(2，2e-2)． (4)y=x-ln(1+x)的定义域为(-1，+∞)，且 y=1-1/(1+x)=1/(1+x)2 易知y''在(-1，+∞)上均大于零，故y=x-ln(1+x)的凹区间为(-1，+∞)，没有凸 区间和拐点．
