（1）证明向量组α1，=（1，1，0），α2=（0，0，2），α3=（0，3，2）是R3上的一个基，求α=（5，9，-2）在α1，α2，α3下的坐标；
（2）证明向量组α1=（1，1，0，1），α2=（1，1，0，0），α3=（0，1，-1，-1），α4

（1）证明向量组α<sub>1</sub>，=（1，1，0），α<sub>2</sub>=（0，0，2），α<sub>3</sub>=（0，3，2）是R<sup>3</sup>上的一个基，求α=（5，9，-2）在α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，α<sub>3</sub>下的坐标；<br>（2）证明向量组α<sub>1</sub>=（1，1，0，1），α<sub>2</sub>=（1，1，0，0），α<sub>3</sub>=（0，1，-1，-1），α<sub>4</sub
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    验证α1=（1，-1，0），α2=（2，1，3），α3=（3，1，2）为R3上的一个基，并把β1=（5，0，7），β2=（-9，-8，-13）用这个基线性表示。

    验证α<sub>1</sub>=（1，-1，0），α<sub>2</sub>=（2，1，3），α<sub>3</sub>=（3，1，2）为R<sup>3</sup>上的一个基，并把β<sub>1</sub>=（5，0，7），β<sub>2</sub>=（-9，-8，-13）用这个基线性表示。
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      用初等变换化下列矩阵为阶梯形矩阵或标准形矩阵，并求矩阵的秩：

      <p>用初等变换化下列矩阵为阶梯形矩阵或标准形矩阵，并求矩阵的秩：<br><img src=

      " class="wp-post-image" width="400" height="200" />
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        用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：

        <p>用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：<br><img src=

        " class="wp-post-image" width="400" height="200" />
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          试求向量组α1=（2，1，3，-1），α2=（3，-1，2，0），α3=（1，3，4，-2），α4=（4，-3，1，1）的一个最大无关组及秩，并表示出向量间的线性关系.

          试求向量组α<sub>1</sub>=（2，1，3，-1），α<sub>2</sub>=（3，-1，2，0），α<sub>3</sub>=（1，3，4，-2），α<sub>4</sub>=（4，-3，1，1）的一个最大无关组及秩，并表示出向量间的线性关系.
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            求下列矩阵的秩：

            <p>求下列矩阵的秩：<br><img src=

            " class="wp-post-image" width="400" height="200" />
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              证明：如果向量组α1，α2···，αr线性无关，且能由β1，β2，···，βs线性表示，则r≤s.

              证明：如果向量组α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>···，α<sub>r</sub>线性无关，且能由β<sub>1</sub>，β<sub>2</sub>，···，β<sub>s</sub>线性表示，则r≤s.
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                证明：如果向量组α1，α2，···，αk可用向量组β1，β2···，βl线性表示，则第一组的秩不大于第二组的秩.

                证明：如果向量组α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，···，α<sub>k</sub>可用向量组β<sub>1</sub>，β<sub>2</sub>···，β<sub>l</sub>线性表示，则第一组的秩不大于第二组的秩.
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                  设向量组A: α1，α2，···，αs的秩为r1，向量组B: β 1，β2···，βt的秩为r2，向量组C: α1，···,αs，β1，···，βt的秩为r3证明：
                  max{r1，r

                  设向量组A: α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，···，α<sub>s</sub>的秩为r<sub>1</sub>，向量组B: β <sub>1</sub>，β<sub>2</sub>···，β<sub>t</sub>的秩为r<sub>2</sub>，向量组C: α<sub>1</sub>，···,α<sub>s</sub>，β<sub>1</sub>，···，β<sub>t</sub>的秩为r<sub>3</sub>证明：<br>max{r<sub>1</sub>，r<s
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                    设a 1，a 2···，a r（r≤n）是互不相同的数，

                    证明：α1，α2···，αr，线性无关.

                    <p>设a <sub>1</sub>，a <sub>2</sub>···，a <sub>r</sub>（r≤n）是互不相同的数，<br><img src=
                    证明：α1，α2···，αr，线性无关.

                    " class="wp-post-image" width="400" height="200" />
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                      设向量组α1，α2，···，αs，若（1）α1≠O；（2）每个αi（i=2，3，···，s）都不能被α1，α2，···，αi-1线性表示，则α1，α2，···，αs线性无关.

                      设向量组α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，···，α<sub>s</sub>，若（1）α<sub>1</sub>≠O；（2）每个α<sub>i</sub>（i=2，3，···，s）都不能被α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，···，α<sub>i-1</sub>线性表示，则α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，···，α<sub>s</sub>线性无关.
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                        求下列向量组的秩，并求一个最大线性无关组：
                        （1）α1 =（1，2，-1，4），α2 =（9，100，10，4），α3 =（-2，-4，2，-8）；
                        （2）α1 =（1，1，0），α2 =（0，2，0），α3 =（0，0，3）；
                        （3）α1 =（1，3，6，2），α2 =（2，1，2，-1），α

                        求下列向量组的秩，并求一个最大线性无关组：<br>（1）α<sub>1</sub> =（1，2，-1，4），α<sub>2</sub> =（9，100，10，4），α<sub>3</sub> =（-2，-4，2，-8）；<br>（2）α<sub>1</sub> =（1，1，0），α<sub>2</sub> =（0，2，0），α<sub>3</sub> =（0，0，3）；<br>（3）α<sub>1</sub> =（1，3，6，2），α<sub>2</sub> =（2，1，2，-1），α<sub>
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                          证明向量组Α:α1=（1，-1，4），α2=（1，0，3）与向量组B: β1=（1，1，2），β2=（0，-1，1）等价。

                          证明向量组Α:α<sub>1</sub>=（1，-1，4），α<sub>2</sub>=（1，0，3）与向量组B: β<sub>1</sub>=（1，1，2），β<sub>2</sub>=（0，-1，1）等价。
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                            设α=（1，0，-1，2），β=（3，2，4，-1），求-α，2α，α-β，5α+4β.

                            设α=（1，0，-1，2），β=（3，2，4，-1），求-α，2α，α-β，5α+4β.
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                              设3α+4β=（2，1，1，2），2α+3β=（-1，2，3，1），求α，β.

                              设3α+4β=（2，1，1，2），2α+3β=（-1，2，3，1），求α，β.
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