试证：向量组α1，…，αm线性相关的充要条件是其中至少有一向量可由其余向量线性表示．

试证：向量组α<sub>1</sub>，…，α<sub>m</sub>线性相关的充要条件是其中至少有一向量可由其余向量线性表示．
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    设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，
    ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基础解系．证明η，ξ1，ξ2，
    …，ξ1线性无关•

    设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，<br/>ξ<sub>1</sub>，ξ<sub>2</sub>，…，ξ<sub>r</sub>是其导出组Ax=0的一个基础解系．证明η，ξ<sub>1</sub>，ξ<sub>2</sub>，<br/>…，ξ<sub>1</sub>线性无关•
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      求解以下向量方程：
      (1)3x+α=β，已知α=(1，0，1)，β=(1，1，-1)；
      (2)2x+3a=3x+β，已知α=(2，0，1)，β=(3，1，-1)．

      求解以下向量方程：<br/>(1)3x+α=β，已知α=(1，0，1)，β=(1，1，-1)；<br/>(2)2x+3a=3x+β，已知α=(2，0，1)，β=(3，1，-1)．
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        设向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，它们的秩分别为
        r1，r2，证明r1≤r2．

        设向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，它们的秩分别为<br/>r<sub>1</sub>，r<sub>2</sub>，证明r<sub>1</sub>≤r<sub>2</sub>．
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          设β1=α1，β=α1+α2，…，β=α1+α2+…+αm，证明：向量
          组α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm等价．

          设β<sub>1</sub>=α<sub>1</sub>，β=α<sub>1</sub>+α<sub>2</sub>，…，β=α<sub>1</sub>+α<sub>2</sub>+…+α<sub>m</sub>，证明：向量<br/>组α<sub>1</sub>，α<sub>2</sub>，…，α<sub>m</sub>与β<sub>1</sub>，β<sub>2</sub>，…，β<sub>m</sub>等价．
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            已知向量组
            a1=
            (1
            1
            0
            -1),
            a2=
            (-2
            1
            0
            0),
            a3=
            (-1
            2
            0
            1),
            又β满足3(a1-β)+2(a3+β)=5(a2+β),求β

            已知向量组<br/>a1=<br/>(1<br/>1<br/>0<br/>-1),<br/>a2=<br/>(-2<br/>1<br/>0<br/>0),<br/>a3=<br/>(-1<br/>2<br/>0<br/>1),<br/>又β满足3(a1-β)+2(a3+β)=5(a2+β),求β
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              已知二次型的矩阵为A=
              (212
              122
              222)，
              则二次型f(x1，x2，x3)=____.

              已知二次型的矩阵为A=<br/>(212<br/>122<br/>222)，<br/>则二次型f(x1，x2，x3)=____.
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                设二次型f(x1,x2,x3)
                =x12+2x22+5x32+2ax1x2+2x2x3是正定二次型，求a的最大取值范围．

                设二次型f(x1,x2,x3)<br/>=x<sub>1</sub><sup>2</sup>+2x<sub>2</sub><sup>2</sup>+5x<sub>3</sub><sup>2</sup>+2ax1x2+2x2x3是正定二次型，求a的最大取值范围．
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                  判定以下二次型是不是正定二次型(需说明理由)：
                  (1)f(x1，x2，x3=2x21+2x1x2-2x1x3-6x22一4x2x3-x23；
                  (2)f(x

                  判定以下二次型是不是正定二次型(需说明理由)：<br/>(1)f(x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>，x<sub>3</sub>=2x<sup>2</sup><sub>1</sub>+2x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-2x<sub>1</sub>x<sub>3</sub>-6x<sup>2</sup><sub>2</sub>一4x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-x<sup>2</sup><sub>3</sub>；<br/>(2)f(x
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                    用配方法将二次型化为标准型并求出相应的可逆变换
                    f(x1,x2,x3)
                    =x12-x22+2x32-2x1x2+4x1x3

                    用配方法将二次型化为标准型并求出相应的可逆变换<br/>f(x1,x2,x3)<br/>=x<sub>1</sub><sup>2</sup>-x<sub>2</sub><sup>2</sup>+2x<sub>3</sub><sup>2</sup>-2x1x2+4x1x3
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                      已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x21+(k-1)x3+(k-2)x23正定，则数k的取值范围为____．

                      已知二次型f(x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>，x<sub>3</sub>)=(k+1)x<sup>2</sup><sub>1</sub>+(k-1)x<sup></sup><sub>3</sub>+(k-2)x<sup>2</sup><sub>3</sub>正定，则数k的取值范围为____．
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                        规范形f=x12+x22+x32-x42-x52的符号差为_____.

                        规范形f=x<sub>1</sub><sup>2</sup>+x<sub>2</sub><sup>2</sup>+x<sub>3</sub><sup>2</sup>-x<sub>4</sub><sup>2</sup>-x<sub>5</sub><sup>2</sup>的符号差为_____.
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                          二次型f(x1，x2)=2x21+2x1x2-x22的秩为_____.

                          二次型f(x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>)=2x<sup>2</sup><sub>1</sub>+2x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-x<sup>2</sup><sub>2</sub>的秩为_____.
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                            设实二次型f(x1，x2，x3)=XTAX的矩阵A=
                            (110
                            1a0
                            00b2)，
                            如果
                            f(x1，x2，x3)为正定二次型，则a，b满足的条件是____．

                            设实二次型f(x1，x2，x3)=X<sup>T</sup>AX的矩阵A=<br/>(110<br/>1a0<br/>00b<sup>2</sup>)，<br/>如果<br/>f(x1，x2，x3)为正定二次型，则a，b满足的条件是____．
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                              用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准型为y21+5y22，则A的最小特征值是_____．

                              用正交变换将二次型f(x<sub>1</sub>，x<sub>2</sub>，x<sub>3</sub>)=X<sup>T</sup>AX化为标准型为y<sup>2</sup><sub>1</sub>+5y<sup>2</sup><sub>2</sub>，则A的最小特征值是_____．
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